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Números Naturales.

Dicho en términos muy simples, los números naturales son los que sirven para contar.

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes propiedades:

Si se suma a un natural el número 1 el resultado es otro número natural.

Por lo tanto el conjunto de los naturales es un conjunto infinito.

Las propiedades enunciadas anteriormente constituyen el Axioma de Inducción Completa.

El conjunto de los Números Naturales se denota por la letra N y se representa así:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…}

Números Enteros.

El conjunto de números enteros, es también infinito.

Son parejas de números naturales (x, y), cuya resta x-y define un número entero.

Por ejemplo: la pareja (7, 3) define el entero positivo  4  ya que  7 - 3 = 4.

                  la pareja (2, 4) define el entero negativo -2 ya que  2 - 4 = -2.

Existe un isomorfismo entre parte del conjunto de los números enteros y el de los números naturales; ya que el conjunto de los naturales es el de los enteros positivos.

Al conjunto de los enteros también pertenece el 0 que está definido por todas aquellas parejas de naturales iguales (1,1) ; (56,56) ; etc.

El conjunto de los Números Enteros se denota por la letra Z y se le representa así:

Z = {…, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…}

Observa que los números naturales son un subconjunto de los números enteros. Es decir 

Números Racionales

El conjunto de números racionales está integrado por parejas de números enteros cuyos elementos se dividen entre sí.

A este conjunto también pertenece el 0, que está definido por todas aquellas fracciones que tienen al 0 por numerador.

Los racionales serán positivos o negativos  según sea el signo de cada uno de los integrantes de las parejas que los definen.

Así será que parejas de enteros de igual signo definirán un racional positivo; y parejas de enteros de distinto signo definirán un racional negativo.

No existen racionales cuyo denominador sea 0.

El conjunto de los Números Racionales se representa por la letra Q y se representa así:

Q = 

Observa que se tiene la siguiente relación entre los naturales, los enteros y los racionales. .

 

Números Irracionales

Los números irracionales son aquellos elementos de la recta real que no son expresables mediante números racionales usando las operaciones internas de este conjunto. Es decir, un número irracional no puede expresarse de la forma p/q siendo p y q enteros, es decir no es racional. Antes de conocer los irracionales hablemos de las fracciones decimales.

Al dividir dos enteros entre si el resultado es un entero o un entero y una fracción decimal o bien únicamente una fracción decimal.

Fracción Decimal. Se llaman así a todos los números que representen una cantidad inexacta, y que presentan una parte entera y una parte decimal, mismas que se encuentran separadas por el punto decimal (.). Por ejemplo:

0.55 Este número es una fracción decimal o simplemente un decimal pues encontramos el punto decimal.

Existen dos clases de decimales: los finitos y los infinitos.

a) Decimales Finitos:
Cuando la parte decimal tiene un final determinado y no va mas allá, decimos que se trata de un decimal finito.

El ejemplo anterior nos decía que teníamos 0.55. Aquí vemos que la parte decimal termina con el número 55 y no sigue por lo tanto se trata de un decimal finito.

b) Decimales Infinitos:
Son aquellos en los que la parte decimal no tiene un final determinado. Dentro de ellos tenemos dos que son muy importantes y son:

   b1) Decimales Periódicos Puros:
   Número decimal periódico puro es el número decimal en el cual la cifra o grupo de cifras que se repiten empieza inmediatamente después del punto. En ellos se repite siempre el mismo número o periodo. Por ejemplo:

0.16161616….  En la parte decimal se repite infinitas veces el 16. Este número decimal periódico se escribe también así  

b2) Decimales Periódicos Mixtos:

Número decimal periódico mixto es el número decimal en el cual la cifra o grupo de cifras que se repiten no empieza inmediatamente después de la coma. Por ejemplo:

0.12535353… En la parte decimal se repite infinitas veces el 53. Este número decimal periódico se escribe también así  .

Volvamos a los irracionales. Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo, es decir no son decimales periódicos. Por ejemplo, al resolver una raíz cuadrada inexacta, como por ejemplo √2, encontraremos una respuesta decimal 1,4142135623730950488016...... que como vemos será infinita y en la cual no encontramos ninguna relación ni periodo definido. Este tipo de números son conocidos como Números Irracionales.

Es mucho mas sencillo decir simplemente √2, que decir todo el número decimal, es más, es más exacto y preciso decir √2 que decir todo el número decimal (finalmente este decimal no será más que una aproximación).

Debido a ello, los más célebres números irracionales son identificados mediante símbolos. Algunos de éstos son:

1. π (pi): relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro.

2. e=lim (1+1/n)2

3. Φ (número áureo): 

El conjunto de los Números Irracionales se representa por la letra I o también como el complemento de Q , es decir Q´ . Que significa lo que no esta Q es irracional.

 

Números Reales

La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales, recibe el nombre de conjunto de los Números Reales y se denota con el símbolo , simbólicamente escribimos:  R= QUQ´